SEJARAH POHON LOGIKA

Sejarah logika

Sejarah logika adalah studi tentang perkembangan ilmu inferensi yang valid (logika). Logika formal dikembangkan pada zaman kuno di Cina, India, dan Yunani. Logika Yunani, khususnya logika Aristoteles, menemukan aplikasi luas dan penerimaan dalam sains dan matematika. Logika Aristoteles dikembangkan lebih lanjut oleh Islam dan Kristen filsuf di Abad Pertengahan, mencapai titik tinggi di pertengahan abad ke-empat belas. Periode antara abad keempat belas dan awal abad kesembilan belas sebagian besar salah satu penurunan dan mengabaikan, dan dianggap sebagai mandul oleh setidaknya satu sejarawan logika.

Logika telah kembali pada pertengahan abad kesembilan belas, pada awal periode revolusioner ketika subjek berkembang menjadi suatu disiplin ketat dan formalistik yang teladan adalah metode yang tepat digunakan dalam pembuktian matematika. Perkembangan logika yang disebut modern "simbolis" atau "matematika" selama periode ini adalah yang paling signifikan dalam sejarah dua ribu tahun dari logika, dan ini bisa dibilang salah satu peristiwa paling penting dan luar biasa dalam sejarah intelektual manusia.

Kemajuan dalam logika matematika dalam beberapa dekade pertama abad kedua puluh, terutama yang timbul dari karya Gödel dan Tarski, memiliki dampak yang signifikan terhadap filsafat analitik dan logika filosofis, terutama dari tahun 1950-an dan seterusnya, dalam mata pelajaran seperti logika modal, logika sementara, deontic logika, dan logika relevansi.

Prasejarah logika

Penalaran yang valid telah digunakan dalam semua periode sejarah manusia.  Namun, logika         penelitian prinsip-prinsip yang berlaku, inferensi penalaran dan demonstrasi. Ini adalah kemungkinan bahwa gagasan untuk menunjukkan kesimpulan yang pertama muncul dalam kaitannya dengan geometri, yang asalnya berarti sama dengan "pengukuran tanah". Secara khusus, orang Mesir kuno telah secara empiris menemukan beberapa kebenaran dari geometri , seperti rumus untuk volume piramida terpotong .

Asal lain bisa dilihat di Babel . Buku Pegangan medis Diagnostik Esagil-kin-APLI di SM abad ke-11 didasarkan pada seperangkat logis dari aksioma dan asumsi, sementara astronom Babilonia di abad ke-8 dan ke-7 SM mempekerjakan logika internal dalam sistem prediksi mereka planet, kontribusi penting dengan filsafat ilmu .

Logika dalam filsafat Yunani

2.1 Sebelum Plato

Sementara Mesir kuno secara empiris menemukan beberapa kebenaran geometri, pencapaian besar dari Yunani kuno adalah untuk menggantikan metode empiris oleh ilmu pengetahuan demonstratif. Studi sistematis ini tampaknya telah mulai dengan sekolah Pythagoras pada akhir abad keenam SM. Tiga prinsip dasar dari geometri adalah bahwa proposisi tertentu yang harus diterima sebagai benar tanpa demonstrasi, bahwa semua proposisi lain dari sistem ini adalah berasal dari ini, dan bahwa derivasi harus formal, yaitu, independen dari mata pelajaran tertentu materi yang bersangkutan. Fragmen bukti awal yang diawetkan dalam karya-karya Plato dan Aristoteles, dan gagasan dari sistem deduktif mungkin dikenal di sekolah Pythagoras dan Platonis Akademi.

Terpisah dari geometri, ide pola argumen standar ditemukan dalam iklan absurdum reductio digunakan oleh Zeno dari Elea, sebuah pra-Socrates filsuf abad kelima SM. Ini adalah teknik menggambar sebuah kesimpulan, jelas palsu masuk akal atau tidak mungkin dari asumsi, sehingga menunjukkan bahwa asumsi tersebut adalah palsu. Plato Parmenides menggambarkan Zeno sebagai mengklaim telah menulis sebuah buku yang membela monisme Parmenides dengan menunjukkan konsekuensi masuk akal dari asumsi bahwa ada pluralitas. Filsuf lain yang dipraktekkan penalaran dialektis seperti itu yang disebut Socrates kecil, termasuk Euclid dari Megara, yang mungkin pengikut Parmenides dan Zeno. Para anggota sekolah ini disebut "dialektis" (dari kata Yunani yang berarti "untuk membahas"). Bukti lebih lanjut bahwa pra-Aristotelian pemikir khawatir dengan prinsip-prinsip penalaran ditemukan dalam fragmen disebut Dissoi logoi, mungkin ditulis pada awal abad ke-4 SM. Ini adalah bagian dari perdebatan berlarut-larut tentang kebenaran dan kepalsuan.

2,2 Plato logika

Tak satu pun dari karya-karya yang bertahan dari abad keempat filsuf besar Plato (428-347) mencakup logika formal, [10] tetapi mereka termasuk kontribusi penting untuk bidang logika filosofis. Plato menimbulkan tiga pertanyaan:

Apa yang benar bisa disebut benar atau salah?

Apa sifat dari hubungan antara asumsi-asumsi dari suatu argumen yang valid dan kesimpulannya?

Apakah sifat dari definisi?

Pertanyaan pertama muncul dalam dialog Theaetetus, di mana Plato mengidentifikasi pikiran atau pendapat dengan berbicara atau wacana (logo). Pertanyaan kedua adalah hasil dari Plato teori Bentuk. Bentuk bukan hal yang dalam arti biasa, bukan ketat ide dalam pikiran, tetapi mereka sesuai dengan apa yang kemudian disebut filsuf universal, yaitu suatu entitas abstrak umum untuk setiap rangkaian hal-hal yang memiliki nama yang sama. Dalam kedua Republik dan Sofis ini, Plato menunjukkan bahwa hubungan yang diperlukan antara premisses dan kesimpulan dari argumen sesuai dengan koneksi yang diperlukan antara "bentuk". Pertanyaan ketiga adalah tentang definisi . Banyak dari dialog-dialog Plato keprihatinan mencari definisi dari beberapa konsep penting (keadilan, kebenaran, yang Baik), dan kemungkinan bahwa Plato terkesan dengan pentingnya definisi dalam matematika. Apa yang mendasari definisi setiap Formulir Platonis, sekarang umum alam di hal-hal tertentu yang berbeda. Jadi definisi mencerminkan objek utama dari pemahaman kita, dan merupakan dasar dari semua inferensi yang valid. Hal ini memiliki pengaruh besar pada Aristoteles, dalam pengertian Aristoteles tertentu dari esensi dari suatu hal, "apa itu adalah untuk menjadi" hal tertentu dari jenis tertentu.

Aristoteles logika

Logika Aristoteles, dan khususnya teori tentang silogisme, memiliki pengaruh besar dalam pemikiran Barat. karya-Nya yang logis, yang disebut Organon, adalah awal studi formal logika yang telah turun ke zaman modern. Meskipun sulit untuk menentukan tanggal, kemungkinan urutan penulisan karya Aristoteles logis adalah:

The Categories, sebuah studi dari sepuluh jenis istilah primitif.

Para Topik (dengan lampiran yang disebut Pada Refutations Sophistical ), diskusi dialektika.

Pada Interpretasi, sebuah analisis sederhana proposisi kategoris , ke dalam istilah sederhana, negasi, dan tanda-tanda kuantitas, dan perawatan yang komprehensif dari gagasan oposisi dan konversi.

Prior Analytics, analisis formal argumen yang valid atau "silogisme".

The posterior Analytics, sebuah studi demonstrasi ilmiah, mengandung pandangan yang matang pada logika Aristoteles.

Karya-karya ini beredar dari pentingnya dalam sejarah logika. Aristoteles adalah ahli logika pertama untuk mencoba sebuah analisa sistematis tentang sintaks logis , menjadi kata (atau istilah ), dan kata kerja. Dalam Kategori, ia mencoba untuk mengklasifikasikan semua hal yang mungkin bahwa istilah bisa merujuk ke. Gagasan ini mendasari Karya filosofis-nya, Metafisika, yang juga memiliki pengaruh besar pada pemikiran Barat. Dia adalah orang pertama yang berurusan dengan prinsip-prinsip kontradiksi dan menengah dikecualikan secara sistematis. Dia adalah ahli logika formal pertama (yaitu dia memberikan prinsip-prinsip penalaran dengan menggunakan variabel untuk menunjukkan yang mendasari bentuk logis argumen). Dia mencari hubungan ketergantungan yang mencirikan inferensi yang diperlukan, dan membedakan validitas dari hubungan-hubungan, dari kebenaran tempat (yang tingkat kesehatan argumen). Sebelum Analytics berisi penjelasan tentang "silogisme", di mana tiga prinsip penting yang diterapkan untuk pertama kalinya dalam sejarah: penggunaan variabel, pengobatan murni formal, dan penggunaan sistem aksiomatik. Dalam Topik dan Refutations Sophistical dia juga mengembangkan teori non-logika formal (misalnya teori kekeliruan).

2,4 logika Stoic

Sekolah besar lain dari logika Yunani adalah bahwa dari Stoa. Logika Stoic jejak akarnya kembali ke filsuf abad SM akhir 5, Euclid dari Megara, murid dari Sokrates dan kontemporer llyang sedikit lebih tua dari Plato. Murid dan penerusnya disebut "Megarians", atau "Eristics", dan kemudian" dialektis". Dua dialektis yang paling penting dari sekolah Megarian adalah Diodorus Cronus dan Philo yang aktif pada akhir abad 4 SM. Kaum Stoa mengadopsi logika dan sistematis Megarian itu. Anggota yang paling penting dari sekolah itu Chrysippus (278-206 SM), yang mengepalai ketiga, dan yang diformalkan banyak ajaran Stoic. Dia seharusnya telah menulis lebih dari 700 karya, hampir tidak ada yang bertahan hidup. Berbeda dengan Aristoteles, kita tidak punya karya lengkap oleh Megarians atau Stoa awal, dan harus bergantung pada account (kadang-kadang bermusuhan) dengan Sextus Empiricus, menulis pada abad ke-3.

Tiga kontribusi signifikan dari sekolah Stoa adalah (i) rekening mereka dari modalitas, (ii) teori mereka tentang Bahan bersyarat , dan (iii) rekening mereka dari makna dan kebenaran .

Modalitas. Menurut Aristoteles, Megarians dari hari menyatakan tak ada perbedaan antara potensi dan aktualitas. Diodorus Cronus mendefinisikan mungkin sebagai yang baik atau akan menjadi, seperti apa yang mungkin tidak akan benar, dan kontingen seperti itu yang baik sudah, atau akan menjadi false. Diodorus juga terkenal apa yang disebut argumen Guru , bahwa tiga proposisi "adalah segala sesuatu yang terakhir benar dan perlu", "yang mustahil tidak mengikuti dari kemungkinan", dan "Apa yang tidak yang tidak akan mungkin" tidak konsisten. Diodorus digunakan masuk akal dari dua yang pertama untuk membuktikan bahwa tidak ada yang tidak mungkin jika hal ini tidak akan menjadi kenyataan. Chrysippus, sebaliknya, membantah premis kedua dan mengatakan bahwa tidak mungkin bisa mengikuti dari yang mungkin.

Pernyataan bersyarat. Para ahli logika pertama untuk debat pernyataan bersyarat adalah Diodorus dan muridnya Philo dari Megara. Sextus Empiricus mengacu tiga kali untuk perdebatan antara Diodorus dan Philo. Philo berpendapat bahwa bersyarat sejati adalah orang yang tidak dimulai dengan kebenaran dan berakhir dengan dusta. seperti "jika hari, maka saya berbicara". Tapi Diodorus berpendapat bahwa bersyarat yang benar adalah apa yang tidak mungkin dimulai dengan diakhiri dengan kebenaran dan kepalsuan, sehingga bersyarat dikutip di atas dapat false jika itu adalah hari dan aku menjadi diam. Philo kriteria kebenaran adalah apa yang sekarang akan disebut kebenaran fungsional definisi "jika ... maka". Dalam referensi kedua, Sextus mengatakan "Menurut dia ada tiga cara di mana bersyarat mungkin benar, dan satu di mana ia mungkin salah."

Makna dan kebenaran. Perbedaan yang paling penting dan mencolok antara Megarian- Stoic logika dan logika Aristoteles adalah bahwa hal itu menyangkut proposisi, bukan istilah, dan dengan demikian lebih dekat ke modern logika proposisional. Kaum Stoa dibedakan antara ucapan (telepon), yang mungkin kebisingan, pidato (Lexis), yang mengartikulasikan tetapi yang mungkin menjadi tidak berarti, dan wacana (logo), yang bermakna ucapan. Bagian yang paling asli dari teori mereka adalah gagasan bahwa apa yang diungkapkan oleh sebuah kalimat, yang disebut lekton, adalah sesuatu yang nyata. Hal ini sesuai dengan apa yang sekarang disebut proposisi. Sextus mengatakan bahwa menurut kaum Stoa, tiga hal yang saling berhubungan, yang ditandai, yang berarti, dan objek. Sebagai contoh, apa berarti adalah kata Dion, apa yang ditandai adalah apa yang orang Yunani memahami tetapi tidak barbar, dan objek Dion sendiri.

Logika di Asia

3.1 Logika di India

Logika formal mulai mandiri di India kuno dan terus berkembang sampai ke zaman modern awal, tanpa pengaruh diketahui dari logika Yunani. Medhatithi Gautama (abad ke-6 SMc.) mendirikan sekolah anviksiki logika. The Mahabharata ( 12.173.45), sekitar abad 5 SM, mengacu pada sekolah-sekolah anviksiki dan Tarka logika. Panini (abad ke-5 SM c.) mengembangkan sebuah bentuk logika (yang logika Boolean memiliki beberapa kesamaan) untuk perumusan tentang tata bahasa Sanskerta. Logika dijelaskan oleh Chanakya (c. 350-283 SM) dalam bukunya Arthashastra sebagai bidang penyelidikan independen anviksiki. Dua dari enam sekolah India pemikiran berurusan dengan logika: Nyaya danVaisheshika . The Nyaya Sutra dari Aksapada Gautama (c. 2 Masehi) merupakan inti teks-teks sekolah Nyaya, salah satu dari enam sekolah ortodoks Hindu filsafat. Ini realis sekolah mengembangkan lima anggota skema kaku inferensi melibatkan premis awal, alasan, contoh, aplikasi dan kesimpulan. Para idealis filsafat Buddhis menjadi lawan kepala ke Naiyayikas. Nagarjuna (c. 150 - 250 M), pendiri dari Madhyamika ("Jalan Tengah") mengembangkan analisis yang dikenal sebagai catuskoti (Sanskerta). Argumentasi ini bersisi empat sistematis mengkaji dan menolak penegasan proposisi, penyangkalannya, penegasan bersama dan penolakan, dan akhirnya, penolakan dan pengingkaran penegasan. Tapi itu dengan Dignaga (c 480-540 CE), yang mengembangkan silogisme formal, dan penggantinya Dharmakirti bahwa logika Buddha mencapai puncaknya. Analisis mereka berpusat pada definisi logis yang diperlukan entailment, "vyapti", juga dikenal sebagai hal seiring invariabel atau merembes. Untuk tujuan ini sebuah doktrin yang dikenal sebagai "apoha" atau diferensiasi dikembangkan. Hal ini melibatkan apa yang disebut inklusi dan eksklusi untuk mendefinisikan properti.

Kesulitan yang terlibat dalam perusahaan ini, sebagian, merangsang sekolah neo-skolastik Navya-Nyaya, yang mengembangkan analisis formal inferensi pada abad keenambelas. Ini sekolah nanti dimulai sekitar timur India dan Bengal, dan mengembangkan teori-teori menyerupai logika modern, seperti Gottlob Frege 's "perbedaan antara akal dan referensi nama yang tepat" dan "definisi nomor,"-nya serta teori Navya-Nyaya dari "membatasi kondisi universal" mengantisipasi beberapa perkembangan modern menetapkan teori. Sejak 1824, logika India menarik perhatian banyak sarjana Barat, dan telah memiliki pengaruh pada yang penting abad ke-19 ahli logika seperti Charles Babbage, Augustus De Morgan, dan khususnya George Boole, seperti ditegaskan oleh istrinya Maria Everest Boole yang menulis dalam sebuah "surat terbuka kepada Dr Bose" berjudul "Pemikiran India dan Ilmu Barat di Abad Kesembilan Belas" ditulis pada tahun 1901 : "Pikirkan apa yang pasti efek dari Hinduizing intens dari tiga pria seperti Babbage, De Morgan dan George Boole pada suasana matematika 1830-1865 "

3.2 Logika di Cina

Di Cina, suatu kontemporer Konfusius, Mozi, "Guru Mo", yang dikreditkan dengan mendirikan sekolah Mohist, yang kanon berurusan dengan masalah yang berkaitan dengan inferensi valid dan kondisi kesimpulan yang benar. Secara khusus, salah satu sekolah yang tumbuh dari Mohism, para ahli logika, dikreditkan oleh beberapa sarjana untuk investigasi awal mereka logika formal. Sayangnya, karena aturan keras dari Legalisme dalam berikutnya Dinasti Qin, baris ini penyelidikan menghilang di Cina sampai diperkenalkannya filsafat India oleh umat Buddha.

Abad Pertengahan logika

4.1 Logika dalam filsafat Islam

Karya-karya Al-Farabi, Ibnu Sina, Al-Ghazali, Averroes dan logicians Muslim lainnya baik mengkritik dan mengembangkan logika Aristotelian dan penting dalam mengkomunikasikan ide-ide dari dunia kuno ke Barat abad pertengahan. Al-Farabi (Alfarabi) ( 873-950) adalah seorang ahli logika Aristoteles yang membahas topik kontingen masa depan, jumlah dan hubungan antara kategori, hubungan antara logika dan tata bahasa, dan non-Aristotelian bentuk inferensi. Al-Farabi juga dianggap sebagai teori silogisme bersyarat dan kesimpulan analogis, yang merupakan bagian dari Stoic tradisi logika Aristotelian yang bukan.

Ibnu Sina (Avicenna) (980-1037) adalah pendiri logika Avicennian, yang menggantikan logika Aristotelian sebagai sistem domininant logika di dunia Islam, dan juga memiliki pengaruh penting pada para penulis Abad Pertengahan Barat seperti Albertus Magnus. Ibnu Sina menulis di silogisme hipotetis dan pada kalkulus proposisional, yang keduanya merupakan bagian dari tradisi logis Stoic. Ia mengembangkan suatu teori yang asli dari "temporal modalized silogisme" dan memanfaatkan induktif logika, seperti metode kesepakatan, perbedaan dan variasi secara bersamaan yang penting untuk metode ilmiah. Salah satu ide Avicenna memiliki pengaruh sangat penting pada ahli logika Barat seperti William Ockham. Avicenna kata untuk arti atau pengertian (ma'na), diterjemahkan oleh ahli logika skolastik sebagai intentio Latin. Dalam logika abad pertengahan dan epistemologi, ini adalah tanda dalam pikiran yang secara alami merupakan sesuatu. Hal ini sangat penting untuk pengembangan dari Ockham itu conceptualism. Sebuah istilah universal (misalnya "manusia") tidak berarti hal yang ada dalam realitas, tetapi tanda dalam pikiran (intentio di intellectu) yang mewakili banyak hal dalam kenyataan. Ockham mengutip komentar Avicenna pada V Metafisika dalam mendukung pandangan ini.

Fakhr al-Din al-Razi (b. 1149) mengkritik "Aristoteles angka pertama" dan dirumuskan sistem awal logika induktif, pertanda sistem logika induktif yang dikembangkan oleh John Stuart Mill (1806-1873). Al-Razi itu pekerjaan dilihat oleh para sarjana Islam di kemudian hari sebagai tanda arah baru untuk logika Islam, menuju logika Post-Avicennian. Hal ini dijabarkan lebih lanjut oleh muridnya al-Khûnajî Afdaladdîn (w. 1249), yang mengembangkan suatu bentuk logika berputar di sekitar subyek konsepsi dan assents. Menanggapi tradisi ini, Nasir al-Din al-Tusi (1201-1274) memulai tradisi Neo-Avicennian logika yang tetap setia kepada karya Avicenna dan ada sebagai alternatif sekolah Pasca Avicennian lebih dominan selama berabad-abad berikut.

Refutations sistematis logika Yunani ditulis oleh sekolah Illuminationist, didirikan oleh Shahab al-Din Suhrawardi (1155-1191), yang mengembangkan gagasan "keharusan menentukan", yang mengacu pada pengurangan semua modalitas ( kebutuhan, kemungkinan, kontingensi dan ketidakmungkinan ) untuk mode single kebutuhan. [48] Ibn al-Nafis (1213 -1288) menulis sebuah buku tentang logika Avicennian, yang merupakan komentar dari Ibnu Sina Al-Isharat (Tanda) dan Al-Hidayah (Bimbingan itu). Sanggahan lain sistematis logika Yunani ditulis oleh Ibnu Taimiyah (1263-1328), Ar-Radd 'ala al-Mantiqiyyin (Penolakan terhadap ahli logika Yunani), di mana ia menentang kegunaan, meskipun tidak validitas, dari silogisme dan mendukung penalaran induktif. Ibnu Taimiyah juga berpendapat terhadap kepastian argumen silogisme dan mendukung analogi. Argumennya adalah bahwa konsep didasarkan pada induksi itu sendiri tidak yakin namun hanya kemungkinan, dan dengan demikian silogisme yang berdasarkan pada konsep tersebut tidak lebih pasti dari sebuah argumen yang didasarkan pada analogi. Dia lebih jauh menyatakan bahwa induksi itu sendiri dibangun di atas proses analogi.

Modelnya penalaran analogis didasarkan pada argumen yuridis. Model analogi telah digunakan dalam karya terbaru dari John F. Sowa . Para Syarh al-fi'l-mantiiq takmil ditulis oleh Muhammad bin Fayd Allah ibn Muhammad Amin al-Sharwani pada abad ke-15 adalah karya besar terakhir Arab pada logika yang telah dipelajari. Namun, "beribu-ribu halaman" pada logika ditulis antara abad 14 dan 19, meskipun hanya sebagian kecil dari teks yang ditulis selama periode ini telah dipelajari oleh sejarawan, maka sedikit yang diketahui tentang karya asli pada logika Islam yang dihasilkan selama periode berikutnya.

4.2 Logika di Eropa Abad Pertengahan

"Logika Abad Pertengahan" (juga dikenal sebagai "logika Scholastic") umumnya berarti bentuk logika Aristotelian yang dikembangkan di Eropa abad pertengahan selama periode c 1200-1600. Selama berabad-abad setelah logika Stoic telah dirumuskan, itu adalah sistem dominan logika dalam dunia klasik. Ketika studi tentang logika kembali setelah Abad Kegelapan, sumber utama adalah karya filsuf Kristen Boethius, yang akrab dengan beberapa logika Aristoteles, tetapi hampir tidak ada pekerjaan dari kaum Stoa. Sampai abad kedua belas hanya karya-karya Aristoteles yang tersedia di Barat adalah Kategori, Pada Interpretasi dan terjemahan Boethius 'dari monofisit dari Porphyry (sebuah komentar pada Kategori). Karya-karya ini dikenal sebagai "Logika Lama" (Logica Vetus atau Ars Vetus). Sebuah karya penting dalam tradisi ini adalah Ingredientibus Logica dari Petrus Abelard (1079-1142). Pengaruh langsung ini kecil, tetapi pengaruh-Nya melalui murid seperti John Salisbury sangat besar, dan metode yang menerapkan analisis logis yang ketat untuk teologi membentuk cara bahwa kritik teologis yang dikembangkan dalam periode yang diikuti.

Pada awal abad ketiga belas karya sisa Aristoteles Organon (termasuk Sebelum Analytics, Analytics posterior dan Refutations Sophistical ) telah ditemukan di Barat. bekerja logis sampai saat itu sebagian besar paraphrasis atau komentar pada karya Aristoteles. Periode dari tengah ketiga belas ke pertengahan abad keempat belas adalah salah satu perkembangan signifikan dalam logika, terutama di tiga bidang yang asli, dengan yayasan kecil dalam tradisi Aristotelian yang datang sebelumnya. Ini adalah:

Teori anggapan . Anggapan teori berkaitan dengan cara yang predikat (kisaran 'manusia' misalnya lebih dari sebuah domain individu (misalnya semua pria). supposit Dalam proposisi "setiap orang adalah binatang ', apakah rentang' pria 'istilah di atas atau' untuk 'laki-laki yang ada dalam? ini Atau apakah rentang termasuk pria lalu dan masa depan? Dapatkah supposit istilah untuk yang tidak ada individu? Beberapa medievalists berpendapat bahwa ide ini merupakan prekursor dari logika urutan modern pertama. "Teori pengandaian dengan teori-teori terkait copulatio (tanda-kapasitas istilah kata sifat), ampliatio (pelebaran dari domain referensial), dan distributio merupakan salah satu prestasi paling asli logika abad pertengahan Barat". Teori syncategoremata. Syncategoremata adalah istilah yang diperlukan untuk logika, tetapi, tidak seperti istilah categorematic, tidak berarti atas nama mereka sendiri, tapi 'co-berarti' dengan kata lain. Contoh syncategoremata adalah 'dan', 'tidak', 'setiap', 'jika', dan seterusnya.

Teori konsekuensi. Konsekwensinya adalah proposisi, hipotesis kondisional: dua proposisi bergabung dengan 'istilah jika ... lalu '. Sebagai contoh "jika seorang pria berjalan, maka Tuhan ada '(Si homo currit, Deus est). Sebuah teori berkembang sepenuhnya konsekuensi diberikan dalam Buku III dari William Ockham kerja 's Summa Logicae. Ada, Ockham membedakan antara 'materi' dan 'formal' konsekuensi, yang secara kasar setara dengan yang modern implikasi materi dan implikasi logis masing-masing. Rekening serupa diberikan oleh Jean Buridan dan Albert dari Saxony.

Karya-karya besar terakhir dalam tradisi ini adalah Logika Yohanes Poinsot (1589-1644, dikenal sebagai John of St Thomas ), yang perselisihan Metafisika dari Francisco Suarez (1548- 1617), dan Demonstrativa Logica dari Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733 ).

Tradisional logika

5.1 Tradisi Textbook

"Logika Tradisional" umumnya berarti tradisi buku yang diawali dengan Antoine Arnauld dan Pierre Nicole Logika 's, atau Seni Berpikir, lebih dikenal sebagai Logic Port-Royal. Diterbitkan pada 1662, itu adalah pekerjaan yang paling berpengaruh pada logika di Inggris sampai abad kesembilan belas. Buku ini menyajikan sebuah doktrin Cartesian longgar (bahwa proposisi adalah kombinasi dari ide-ide daripada istilah, misalnya) dalam kerangka yang luas berasal dari Aristoteles dan abad pertengahan istilah logika . Antara 1664 dan 1700 ada delapan edisi, dan buku itu memiliki pengaruh yang cukup besar setelah itu. Kisah tentang proposisi bahwa Locke dalam Essay memberikan pada dasarnya bahwa Port-Royal: "proposisi verbal, yang kata-kata, [yang] tanda-tanda ide-ide kami, menempatkan bersama-sama atau terpisah dalam kalimat afirmatif atau negatif Jadi proposisi yang terdiri dalam menyusun atau memisahkan tanda-tanda ini, menurut seperti hal-hal yang mereka berdiri untuk setuju atau tidak setuju.." (Locke, Sebuah Essay Concerning Human Understanding, IV 5.. 6)

Karya lain yang berpengaruh adalah Novum Organum oleh Francis Bacon , yang diterbitkan pada tahun 1620. Judul diterjemahkan sebagai "instrumen baru". Ini adalah referensi ke Aristoteles's bekerja Organon. Dalam karya ini, Bacon menolak metode silogisme Aristoteles dalam mendukung prosedur alternatif "yang dengan jerih lambat dan setia mengumpulkan informasi dari hal-hal dan membawanya ke dalam pemahaman". Metode ini dikenal sebagai penalaran induktif. Metode induktif dimulai dari pengamatan empiris dan hasil untuk aksioma yang lebih rendah atau proposisi. Dari aksioma-aksioma yang lebih rendah yang lebih umum dapat diturunkan (dengan induksi). Dalam menemukan penyebab yang bersifat fenomenal seperti panas, seseorang harus daftar semua situasi di mana panas ditemukan. Kemudian daftar yang lain harus dibuat, daftar situasi yang mirip dengan daftar pertama kecuali kurangnya panas. Sebuah tabel ketiga daftar situasi di mana panas dapat bervariasi. Sifat bentuk, atau menyebabkan, panas harus yang umum untuk semua contoh dalam tabel pertama, kurang dari semua contoh dari tabel kedua dan bervariasi dengan gelar dalam contoh dari tabel ketiga. Karya lain dalam tradisi buku termasuk Isaac Watts 'Logick: Atau, Penggunaan Hak Reason (1725), Richard Whately 's Logic (1826), dan John Stuart Mill 's A System of Logic (1843). Meskipun yang terakhir adalah salah satu karya besar terakhir dalam pandangan tradisi, Mill bahwa fondasi logika awam dalam introspeksi dipengaruhi pandangan bahwa logika paling baik dipahami sebagai cabang psikologi, pendekatan terhadap subyek yang didominasi berikutnya lima puluh tahun pembangunan, khususnya di Jerman.

5.2 Logika dalam filsafat Hegel

GWF Hegel menunjukkan pentingnya logika untuk sistem filsafat ketika ia terkondensasi luas Ilmu Logika menjadi sebuah karya pendek diterbitkan pada 1817 sebagai volume pertama dari Encyclopedia tentang Ilmu Filosofis The "Ensiklopedia" "pendek" atau Logika, Karena sering dikenal, menjabarkan serangkaian transisi yang mengarah dari yang paling kosong dan abstrak dari kategori - Hegel dimulai dengan "Menjadi Murni" dan "Tidak Murni" - ke " Absolut"- kategori yang berisi dan menyelesaikan semua kategori yang mendahuluinya. Meskipun judul, Logika Hegel tidak benar-benar memberikan kontribusi untuk ilmu inferensi yang valid. Daripada berasal kesimpulan tentang konsep melalui inferensi yang valid dari tempat, Hegel berusaha untuk menunjukkan pemikiran bahwa sekitar satu konsep memaksa berpikir tentang konsep lain (satu tidak bisa, ia berpendapat, memiliki konsep "Kualitas" tanpa konsep "Jumlah"); dan keharusan di sini adalah bukan masalah psikologi individu, tetapi muncul hampir organik dari isi konsep sendiri. Tujuannya adalah untuk menunjukkan struktur rasional dari "Mutlak" – memang rasionalitas itu sendiri. Metode yang didorong dari pikiran adalah satu konsep yang bertentangan, dan kemudian ke konsep lebih lanjut, yang dikenal sebagai Hegelian dialektika .

Meskipun Logika Hegel memiliki dampak yang kecil pada studi logis utama, pengaruhnya dapat dilihat dalam karya Idealis Inggris - misalnya dalam Prinsip FH Bradley Logika (1883) dan dalam studi ekonomi, politik dan filosofis dari Karl Marx dan berbagai sekolah Marxisme.

Logika dan psikologi

Antara karya Mill dan Frege membentang setengah abad di mana logika secara luas diperlakukan sebagai ilmu deskriptif, sebuah studi empiris dari struktur penalaran, dan dengan demikian pada dasarnya sebagai cabang psikologi. Para psikolog Jerman Wilhelm Wundt, untuk Misalnya, dibahas berasal "logis dari hukum-hukum psikologis berpikir", menekankan bahwa "pemikiran psikologis selalu bentuk yang lebih komprehensif dari berpikir." Pandangan ini tersebar luas di kalangan filsuf Jerman periode: Theodor Lipps dijelaskan logika sebagai " disiplin tertentu dari psikologi "; Christoph von Sigwart dipahami keharusan logis sebagai didasarkan pada paksaan individu untuk berpikir dengan cara tertentu; dan Benno Erdmann berpendapat bahwa "hukum logis hanya memegang dalam batas-batas pemikiran kita" Begitulah pandangan dominan logika di tahun-tahun berikut ini bekerja Mill. Pendekatan psikologis untuk logika ditolak oleh Gottlob Frege . Hal itu juga menjadi sasaran kritik diperpanjang dan destruktif oleh Edmund Husserl dalam volume pertama Investigasi logis nya (1900), serangan yang telah digambarkan sebagai "luar biasa". Husserl dengan kuat berpendapat bahwa logika landasan dalam pengamatan psikologis tersirat bahwa semua kebenaran logis tetap belum terbukti, dan bahwa skeptisisme dan relativisme adalah konsekuensi tak terhindarkan.

Kritik tersebut tidak segera melenyapkan apa yang disebut " psychologism ". Sebagai contoh, filsuf Amerika Josiah Royce, sementara mengakui kekuatan kritik Husserl, tetap "tidak meragukan" bahwa kemajuan di bidang psikologi akan disertai oleh kemajuan dalam logika, dan sebaliknya.

Kebangkitan logika modern

Periode antara abad ke-14 dan awal abad kesembilan belas telah sebagian besar salah satu penurunan dan mengabaikan, dan umumnya dianggap sebagai tandus oleh sejarawan logika. Kebangkitan logika terjadi pada pertengahan abad kesembilan belas, di awal periode revolusioner dimana subjek berkembang menjadi suatu disiplin ketat dan formalistik yang teladan adalah metode yang tepat dari bukti yang digunakan dalam matematika. Perkembangan logika yang disebut modern "simbolis" atau "matematika" selama periode ini adalah yang paling signifikan dalam sejarah 2.000 tahun logika, dan ini bisa dibilang salah satu peristiwa paling penting dan luar biasa dalam sejarah intelektual manusia. Sejumlah fitur membedakan logika modern dari logika Aristoteles atau tradisional tua, yang paling penting adalah sebagai berikut: logika modern adalah fundamental kalkulus aturan operasi yang ditentukan hanya oleh bentuk dan bukan oleh arti simbol itu mempekerjakan, seperti dalam matematika. Banyak ahli logika terkesan oleh "keberhasilan" matematika, yang belum ada sengketa berkepanjangan tentang ada hasil baik matematika. CS Peirce mencatat bahwa meskipun kesalahan dalam evaluasi integral tertentu dengan Laplace menyebabkan kesalahan tentang orbit bulan yang berlangsung selama hampir 50 tahun, kesalahan, sekali melihat, dikoreksi tanpa sengketa yang serius. Peirce kontras ini dengan perdebatan dan ketidakpastian sekitarnya logika tradisional, dan terutama penalaran dalam metafisika . Dia berpendapat bahwa benar-benar "tepat" logika akan tergantung pada matematika, yaitu, "diagram" atau "ikon" pikir. "Mereka yang mengikuti metode tersebut akan ... lolos semua kesalahan, kecuali seperti akan segera dikoreksi setelah sekali dicurigai". Logika modern juga "konstruktif" daripada "abstractive"; yaitu, bukan abstrak dan memformalkan teorema yang berasal dari bahasa biasa (atau dari intuisi psikologi tentang validitas), itu teorema konstruksi dengan metode formal, maka mencari penafsiran dalam bahasa biasa. Hal ini sepenuhnya simbolik, yang berarti bahwa bahkan konstanta logis (ahli logika abad pertengahan yang disebut " syncategoremata ") dan istilah categoric dinyatakan dalam simbol. Akhirnya, logika modern ketat menghindari psikologis, pertanyaan epistemologis dan metafisik.

Periode logika modern

Perkembangan logika modern jatuh ke sekitar lima periode: [81] Periode embrio dari Leibniz sampai 1847, ketika gagasan tentang kalkulus logis dibahas dan dikembangkan, terutama oleh Leibniz, tetapi tidak ada sekolah dibentuk, dan upaya periodik terisolasi ditinggalkan atau pergi tanpa diketahui.

Periode aljabar

Dari Boole 's untuk Analisis Schröder 's Vorlesungen. Pada periode ini ada praktisi lebih, dan kesinambungan pembangunan.

Para logicist periode

Dari Begriffsschrift dari Frege ke Principia Mathematica dari Russel dan Whitehead . Ini didominasi oleh "logicist sekolah", yang bertujuan untuk menggabungkan logika dari semua wacana matematika dan ilmiah dalam suatu sistem terpadu tunggal, dan yang, mengambil sebagai sebuah prinsip fundamental bahwa semua kebenaran matematika yang logis, tidak menerima non- logis terminologi. Para logicists utama yang Frege, Russell, dan awal Wittgenstein. Hal ini berpuncak dengan Principia, karya penting yang mencakup pemeriksaan menyeluruh dan solusi berusaha dari antinomi yang telah menjadi hambatan bagi kemajuan sebelumnya.

Periode metamathematical

Dari 1910 hingga 1930-an, yang melihat perkembangan metalogic, dalam finitist sistem Hilbert, dan sistem non-finitist dari Löwenheim dan Skolem, kombinasi logika dan metalogic dalam pekerjaan Gödel dan Tarski. Gödel 's Teorema ketidaklengkapan tahun 1931 adalah salah satu prestasi terbesar dalam sejarah logika. Kemudian pada tahun 1930 Gödel mengembangkan gagasan set-teori constructibility .

Periode setelah Perang Dunia II,

Ketika logika matematika bercabang menjadi empat bidang yang saling terkait namun terpisah penelitian: Model teori, teori bukti, teori komputabilitas, dan menetapkan teori, dan ide-ide dan metode mulai mempengaruhi filsafat.

7.1 embrio periode

Gagasan bahwa inferensi dapat diwakili oleh suatu proses mekanis murni ditemukan sedini Raymond Lull, yang mengusulkan sebuah metode (agak eksentrik) dari menarik kesimpulan oleh sistem cincin konsentris. Tiga ratus tahun kemudian, filsuf dan ahli logika Inggris Thomas Hobbes menyatakan bahwa semua logika dan penalaran dapat dikurangi dengan operasi matematika dari penjumlahan dan pengurangan. Ide yang sama ditemukan dalam karya Leibniz, yang telah membaca baik Lull dan Hobbes, dan yang berpendapat bahwa logika dapat diwakili melalui proses kombinatorial atau kalkulus. Tapi, seperti Lull dan Hobbes, ia gagal untuk mengembangkan sistem rinci atau komprehensif, dan karyanya pada topik ini tidak dipublikasikan hingga lama setelah kematiannya. Leibniz mengatakan bahwa bahasa biasa dikenakan "ambiguitas yang tak terhitung jumlahnya" dan tidak cocok untuk kalkulus, yang tugasnya adalah untuk mengekspos kesalahan dalam inferensi yang timbul dari bentuk-bentuk dan struktur kata-kata; maka, ia mengusulkan untuk mengidentifikasi alfabet pemikiran manusia terdiri dari konsep dasar yang dapat disusun untuk mengekspresikan ide-ide yang kompleks, dan membuat ratiocinator kalkulus yang akan membuat penalaran "yang nyata sebagai orang-orang dari Matematikawan, sehingga kita dapat menemukan kesalahan kita sekilas, dan ketika ada perselisihan antara orang, kita hanya bisa mengatakan:. Mari kita menghitung "Gergonne (1816) mengatakan penalaran yang tidak harus tentang obyek-obyek tentang apa yang kita punya ide sangat jelas, sejak operasi aljabar dapat dilakukan tanpa kita memiliki gagasan tentang arti dari simbol-simbol yang terlibat. Bolzano diantisipasi ide dasar teori pembuktian modern ketika ia mendefinisikan konsekuensi logis atau "deducibility" dalam hal variabel: satu set proposisi n, o, p ... yang deducible dari proposisi a, b, c ... sehubungan dengan variabel i, j, ... jika ada substitusi untuk i, j yang memiliki efek membuat a, b, c ... benar, secara bersamaan membuat proposisi n, o, p ... juga. Hal ini sekarang dikenal sebagai validitas semantik .

7.2 Periode Aljabar

Logika modern dimulai dengan "sekolah aljabar" yang disebut, berasal dengan Boole dan termasuk Peirce, Jevons, Schröder dan Venn. Tujuan mereka adalah untuk mengembangkan kalkulus untuk meresmikan penalaran di daerah kelas, proposisi dan probabilitas. Sekolah dimulai dengan mani bekerja Analisis Matematika Logika Boole dari yang muncul pada tahun 1847, meskipun De Morgan (1847) adalah prekursor langsung nya. Ide dasar sistem Boole adalah bahwa rumus aljabar dapat digunakan untuk mengekspresikan hubungan logis. Ide ini terpikir Boole pada masa remajanya, bekerja sebagai suatu mengantar di sebuah sekolah swasta di Lincoln, Lincolnshire. Sebagai contoh, misalkan x dan y berdiri untuk kelas biarkan simbol = menandakan bahwa kelas memiliki anggota yang sama, xy berdiri untuk kelas yang berisi semua dan hanya anggota dari x dan y dan seterusnya. Boole panggilan simbol-simbol ini pilihan, yaitu simbol yang memilih objek tertentu untuk dipertimbangkan. Sebuah ekspresi di mana simbol simbol elektif yang digunakan disebut fungsi pilihan, dan persamaan yang anggota adalah fungsi pilihan, adalah persamaan pilihan. Teori fungsi elektif dan "pembangunan" mereka pada dasarnya adalah gagasan modern kebenaran-fungsi dan ekspresi mereka dalam bentuk normal disjungtif.

Sistem Boole yang mengakui dua interpretasi, dalam logika kelas, dan logika proposisional. Boole dibedakan antara "proposisi primer" yang merupakan subjek dari teori silogisme, dan "proposisi sekunder", yang merupakan subyek dari logika proposisional, dan menunjukkan bagaimana bawah berbeda "interpretasi" sistem aljabar yang sama bisa mewakili keduanya. Sebuah contoh dari proposisi primer adalah "Semua penduduk baik Eropa atau Asiatics." Sebuah contoh dari proposisi sekunder adalah "Entah semua penduduk adalah orang Eropa atau mereka semua Asiatics." Ini adalah mudah dibedakan dalam kalkulus proposisional modern, di mana hal ini juga mungkin untuk menunjukkan bahwa yang pertama mengikuti dari kedua, tetapi kerugian yang signifikan bahwa tidak ada cara untuk mewakili ini dalam sistem Boolean.

Dalam Logika Simbolik-nya (1881), John Venn digunakan diagram daerah tumpang tindih untuk mengekspresikan hubungan antara kelas Boolean atau kebenaran proposisi-kondisi. Pada tahun 1869 Jevons menyadari bahwa metode Boole yang bisa mekanik, dan membangun sebuah "mesin logis" yang menunjukkan kepada Royal Society pada tahun berikutnya. Pada tahun 1885 Allan Marquand diusulkan versi listrik dari mesin yang masih ada ( gambar sama Perpustakaan Firestone ).

Cacat dalam sistem Boole (seperti penggunaan huruf v proposisi eksistensial) semua diperbaiki oleh para pengikutnya. Jevons diterbitkan Logika Murni, atau Logika Kualitas terpisah dari Kuantitas pada tahun 1864, di mana ia menyarankan sebuah simbol untuk menandakan eksklusif atau, yang memungkinkan sistem Boole untuk menjadi sangat disederhanakan. Hal ini berguna dimanfaatkan oleh Schröder ketika ia berangkat theorems di paralel kolom dalam Vorlesungen nya (1890-1905). Peirce (1880) menunjukkan bagaimana semua fungsi Boolean elektif dapat diekspresikan dengan menggunakan sebuah operasi biner tunggal primitif, " tidak ... tidak ... " dan sama-sama baik " tidak baik ... dan ... ", Namun, seperti banyak inovasi Peirce, ini tetap tidak diketahui atau tidak diperhatikan sampai Sheffer ditemukan kembali di tahun 1913. Karya awal Boole juga tidak memiliki gagasan tentang jumlah logis yang berasal dari Peirce (1867), Schröder (1877) dan Jevons (1890), dan konsep inklusi, pertama kali diusulkan oleh Gergonne (1816) dan jelas diartikulasikan oleh Peirce (1870). Keberhasilan sistem aljabar Boole menyarankan bahwa logika semua harus mampu

representasi aljabar, dan ada upaya untuk mengekspresikan logika hubungan dalam bentuk seperti itu, yang paling ambisius adalah Vorlesungen monumental Schröder yang über die aljabar der LOGIK ("Ceramah pada Aljabar Logika ", vol iii 1895), meskipun gagasan asli lagi diantisipasi oleh Peirce.

Periode Logicist Setelah Boole, kemajuan besar berikutnya dibuat oleh matematikawan Jerman Gottlob Frege. Tujuan Frege adalah program logicism, yaitu menunjukkan aritmatika yang identik dengan logika. Frege pergi lebih jauh daripada pendahulunya dalam pendekatan ketat dan formal dengan logika, dan kalkulus atau Begriffsschrift adalah penting. Frege juga mencoba untuk menunjukkan bahwa konsep angka dapat didefinisikan dengan cara murni logis, sehingga (jika dia benar) logika meliputi aritmatika dan semua cabang matematika yang direduksi menjadi aritmatika. Dia bukan penulis pertama yang menyarankan ini. Dalam karya rintisannya Die Grundlagen der Arithmetik (dari Yayasan aritmatika), bagian 15-17, dia mengakui upaya Leibniz, JS Mill serta Jevons, mengutip klaim yang terakhir bahwa "aljabar adalah logika sangat berkembang, dan jumlah tetapi logis diskriminasi ".

Frege pertama bekerja, yang Begriffsschrift ("script konsep") adalah sebuah sistem logika ketat axiomatised proposisional, mengandalkan hanya pada dua connectives (negational dan kondisional), dua aturan inferensi (ponens modus dan substitusi), dan enam aksioma. Frege disebut "kelengkapan" dari sistem ini, tetapi tidak mampu untuk membuktikan ini. Inovasi yang paling signifikan, bagaimanapun, adalah penjelasannya tentang quantifier dalam hal fungsi matematika. Logika tradisional menganggap kalimat "Caesar adalah seorang pria" pada dasarnya bentuk yang sama sebagai "semua orang akan mati." Kalimat dengan subjek nama yang tepat dianggap sebagai universal dalam karakter, ditafsirkan sebagai "setiap Kaisar adalah seorang pria". Frege berpendapat bahwa ungkapan quantifier "semua orang" tidak memiliki bentuk logis atau semantik yang sama seperti "semua orang", dan bahwa proposisi universal "setiap A adalah B" adalah proposisi kompleks yang melibatkan dua fungsi, yaitu '- adalah A' dan '- adalah B' seperti bahwa apapun yang memenuhi pertama, juga memenuhi kedua. Dalam notasi modern, ini akan dinyatakan sebagai

(X) Ax -> Bx

Dalam bahasa Inggris, "untuk semua x, jika Ax kemudian Bx". Jadi hanya proposisi tunggal adalah subjek-predikat bentuk, dan mereka tak teruraikan tunggal, yaitu tidak dapat  direduksi menjadi sebuah proposisi umum. Proposisi universal dan khusus, sebaliknya, tidak yang sederhana subjek-predikat bentuk sama sekali. Jika "semua mamalia" adalah subjek logis dari kalimat "semua mamalia adalah lahan-penghuni", maka untuk meniadakan kalimat penuh kita harus meniadakan predikat untuk memberikan "semua mamalia tidak tanah-penghuni". Tapi ini tidak terjadi. Analisis fungsional dari biasa-kalimat bahasa kemudian memiliki dampak yang besar pada filsafat dan linguistik . Ini berarti bahwa dalam kalkulus Frege, "primer" Boole's proposisi dapat direpresentasikan dengan cara yang berbeda dari "sekunder" proposisi. "Semua penduduk baik Eropa atau Asiatics" adalah

(X) [I (x) -> (E (x) v A (x))]

sedangkan "Semua penduduknya Eropa atau semua penduduknya Asiatics" adalah

(X) (I (x) -> E (x)) v (x) (I (x) -> A (x))

Seperti Frege mengatakan dalam sebuah kritik terhadap kalkulus Boole 's:

"Perbedaan nyata adalah bahwa saya menghindari [Boolean] pembagian ke dalam dua bagian ... dan memberikan presentasi homogen banyak Dalam Boole dua bagian dijalankan berdampingan satu sama lain,. Sehingga yang satu adalah seperti bayangan cermin dari yang lain, tapi untuk alasan itu berdiri di tidak ada hubungannya organik untuk itu'' Serta memberikan suatu sistem terpadu dan komprehensif logika, kalkulus Frege juga memutuskan kuno masalah umum beberapa . Ambiguitas dari "setiap gadis mencium anak lakilaki" adalah sulit untuk mengungkapkan dalam logika tradisional, namun logika Frege menangkap ini melalui berbagai ruang lingkup dari pembilang. Jadi

(X) [gadis (x) -> E (y) (anak laki-laki (y) & mencium (x, y))]

berarti bahwa untuk setiap gadis ada beberapa anak laki-laki sesuai (satu apapun akan melakukannya) yang mencium gadis itu. Tapi

E (x) [anak laki-laki (x) & (y) (gadis (y) -> mencium (y, x))]

berarti bahwa ada beberapa anak laki-laki tertentu yang setiap gadis mencium. Tanpa perangkat ini, proyek dari logicism akan meragukan atau tidak mungkin. Menggunakannya, Frege memberikan definisi dari hubungan leluhur , dari hubungan banyak-ke-satu , dan induksi matematika.

Periode ini tumpang tindih dengan pekerjaan dari "sekolah matematika" yang disebut, yang termasuk Dedekind, Paskah, Peano, Hilbert, Zermelo, Huntington, Veblen dan Heyting. Tujuan mereka adalah axiomatisation cabang dari matematika seperti teori geometri, aritmatika, analisis dan ditetapkan. Proyek logicist menerima kemunduran dekat-fatal dengan penemuan sebuah paradoks di tahun 1901 oleh Bertrand Russell. Hal ini membuktikan bahwa Frege teori himpunan naif menyebabkan kontradiksi. Frege teori adalah bahwa untuk setiap kriteria formal, ada himpunan semua objek yang memenuhi kriteria. Russell menunjukkan bahwa satu set yang berisi persis set yang tidak anggota sendiri akan bertentangan definisi sendiri (jika bukan anggota itu sendiri, itu adalah anggota dari dirinya sendiri, dan jika itu adalah anggota itu sendiri, tidak). Kontradiksi ini sekarang dikenal sebagai paradoks Russell . Salah satu metode penting untuk menyelesaikan paradoks ini diusulkan oleh Ernst Zermelo. Zermelo teori himpunan adalah yang pertama menetapkan teori aksiomatis. Ini dikembangkan menjadi saat-kanonik Zermelo-Fraenkel teori set (ZF).

Monumental Principia Mathematica, sebuah karya tiga-volume di dasar matematika, yang ditulis oleh Russell dan Alfred North Whitehead dan diterbitkan 1910-1913 juga termasuk upaya untuk menyelesaikan paradoks, dengan cara yang rumit sistem jenis : satu set elemen adalah jenis yang berbeda dari yang masing-masing unsur-unsurnya (set tidak elemen, salah satu elemen tidak diatur) dan orang tidak dapat berbicara tentang "himpunan semua set". Principia merupakan upaya untuk memperoleh semua kebenaran matematika dari satu set yang didefinisikan dengan baik aksioma dan aturan inferensi dalam logika simbolis.

Metamathematical periode

Nama-nama Gödel dan Tarski mendominasi tahun 1930-an, periode penting dalam pengembangan metamathematics - studi matematika menggunakan metode matematis untuk menghasilkan metatheories, atau teori matematika tentang teori-teori matematika lainnya. Investigasi awal ke metamathematics telah didorong oleh Program Hilbert . yang berusaha untuk menyelesaikan krisis yang sedang berlangsung di dasar matematika dengan mendasarkan semua matematika untuk satu set terbatas dari aksioma, konsistensi membuktikan dengan "finitistic" berarti dan memberikan suatu prosedur yang akan memutuskan kebenaran atau kesalahan pernyataan matematika. Bekerja pada metamathematics memuncak dalam karya Gödel, yang pada tahun 1929 menunjukkan bahwa diberikan kalimat orde pertama adalah deducible jika dan hanya jika secara logis berlaku - yakni benar dalam setiap struktur bahasa nya. Hal ini dikenal sebagai Teorema Gödel 's kelengkapan. Setahun kemudian, ia membuktikan dua teorema penting, yang menunjukkan program yang Hibert untuk menjadi terjangkau dalam bentuk aslinya.

Yang pertama adalah bahwa tidak ada sistem aksioma yang konsisten teorema dapat terdaftar dengan prosedur yang efektif seperti algoritma program atau komputer mampu membuktikan semua fakta tentang alam nomor. Untuk setiap sistem tersebut, akan selalu ada pernyataan tentang bilangan asli yang benar, tetapi yang dibuktikan dalam sistem. Yang kedua adalah bahwa jika sistem seperti ini juga mampu membuktikan fakta-fakta dasar tertentu tentang alam nomor, maka sistem tidak dapat membuktikan konsistensi dari sistem itu sendiri. Kedua hasil ini dikenal sebagai teorema ketidaklengkapan Gödel 's , atau hanya Teorema Gödel's. Kemudian pada dekade, Gödel mengembangkan konsep set-teori constructibility, sebagai bagian dari bukti bahwa aksioma pilihan dan hipotesis kontinum konsisten dengan Zermelo-Fraenkel menetapkan teori .

Dalam bukti teori, Gerhard Gentzen dikembangkan deduksi alami dan kalkulus berturut-turut. Yang pertama mencoba untuk model penalaran logis karena 'alami' terjadi dalam praktek dan yang paling mudah diterapkan untuk logika intuitionistic, sedangkan yang kedua dirancang untuk mengklarifikasi bukti derivasi logis dalam sistem formal. Karena pekerjaan Gentzen itu, deduksi alam dan kalkuli berturut-turut telah banyak diterapkan di bidang teori bukti, logika matematika dan ilmu komputer. Gentzen juga terbukti teorema normalisasi dan memotongeliminasi untuk logika intuitionistic dan klasik yang dapat digunakan untuk mengurangi bukti logis untuk suatu bentuk normal.

Alfred Tarski, seorang murid dari Łukasiewicz, paling dikenal untuk definisi tentang kebenaran dan konsekuensi logis, dan konsep semantik kepuasan logis. Pada 1933, ia diterbitkan (dalam bahasa Polandia) Konsep kebenaran dalam bahasa formal, di mana ia mengusulkan nya teori kebenaran semantik : kalimat seperti "salju putih" adalah benar jika dan hanya jika salju putih. Teori Tarski yang memisahkan metabahasa, yang membuat pernyataan tentang kebenaran, dari bahasa objek, yang berisi kalimat yang kebenarannya sedang menegaskan, dan memberikan korespondensi (yang T-skema ) antara frasa dalam bahasa objek dan elemen dari sebuah penafsiran. Pendekatan Tarski untuk ide sulit menjelaskan kebenaran telah enduringly berpengaruh dalam logika dan filsafat, terutama dalam pengembangan teori model. Tarski juga diproduksi penting bekerja pada metodologi sistem deduktif, dan pada prinsip-prinsip fundamental seperti kelengkapan , decidability , konsistensi dan definability.

Menurut Anita Feferman, Tarski "mengubah wajah logika pada abad kedua puluh". Alonzo Church dan Alan Turing mengusulkan model formal dari komputabilitas, memberikan solusi negatif independen untuk Hilbert Entscheidungsproblem pada tahun 1936 dan 1937, masing-masing. Entscheidungsproblem meminta untuk prosedur yang, diberikan pernyataan matematika formal, algorithmically akan menentukan apakah pernyataan tersebut benar. Gereja dan Turing terbukti tidak ada prosedur seperti itu; kertas Turing memperkenalkan menghentikan masalah sebagai contoh kunci dari masalah matematika tanpa solusi algoritmik. Sistem Gereja untuk perhitungan berkembang menjadi modern λ- kalkulus, sedangkan mesin Turing menjadi model standar untuk perangkat komputasi untuk keperluan umum. Itu segera menunjukkan bahwa banyak model yang diusulkan lain dari perhitungan setara dalam kekuasaan dengan yang diusulkan oleh Gereja dan Turing. Hasil ini menyebabkan Gereja-Turing tesis bahwa setiap deterministik algoritma yang dapat dilakukan oleh manusia dapat dilakukan oleh mesin Turing. Gereja membuktikan hasil undecidability tambahan, menunjukkan bahwa baik aritmatika Peano dan logika orde pertama yang diputuskan.           

Kemudian bekerja dengan Emil Pos dan Stephen Cole Kleene pada 1940-an memperluas ruang lingkup teori komputabilitas dan memperkenalkan konsep derajat unsolvability. Hasil beberapa dekade pertama abad kedua puluh juga memiliki dampak pada filsafat analitik dan logika filosofis, terutama dari tahun 1950-an dan seterusnya, dalam mata pelajaran seperti logika modal, sementara logika, logika deontic, dan logika relevansi

7,5 Logika setelah Perang Dunia II

Setelah Perang Dunia II, logika matematika bercabang menjadi empat bidang yang saling terkait namun terpisah penelitian: Model teori, teori bukti, teori komputabilitas, dan teori himpunan. Dalam menetapkan teori, metode memaksa merevolusi lapangan dengan menyediakan metode yang kuat untuk membangun model dan memperoleh hasil kemerdekaan. Paul Cohen metode ini diperkenalkan pada tahun 1962 untuk membuktikan kemandirian hipotesis kontinum dan aksioma pilihan dari Zermelo-Fraenkel teori himpunan. Teknik-Nya, yang disederhanakan dan diperluas segera setelah diperkenalkan, sejak saat itu telah diterapkan untuk masalah lain di semua bidang logika matematika.

Teori komputabilitas memiliki akarnya dalam pekerjaan Turing, Gereja, Kleene, dan Post pada 1930-an dan 40-an. Ini berkembang menjadi studi komputabilitas abstrak, yang kemudian dikenal sebagai teori rekursi. Para metode prioritas, ditemukan secara independen oleh Albert Muchnik dan Richard Friedberg pada 1950-an, menyebabkan kemajuan besar dalam pemahaman tentang derajat unsolvability dan terkait struktur. Penelitian tingkat tinggi teori komputabilitas menunjukkan koneksi ke teori himpunan. Bidang analisis konstruktif dan analisis dihitung dikembangkan untuk mempelajari isi efektif teorema matematika klasik, ini pada gilirannya mengilhami program matematika sebaliknya. Sebuah cabang yang terpisah dari teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasi, juga dicirikan dalam hal logis sebagai hasil dari penyelidikan ke dalam kompleksitas deskriptif .

Teori model menerapkan metode logika matematika untuk model studi teori matematika tertentu. Alfred Tarski banyak diterbitkan bekerja merintis di lapangan, yang dinamai serangkaian makalah ia diterbitkan di bawah judul Kontribusi teori model. Pada tahun 1960, Abraham Robinson menggunakan model-teori teknik untuk mengembangkan kalkulus dan analisis berdasarkan infinitesimals, masalah yang pertama telah diusulkan oleh Leibniz. Dalam teori bukti, hubungan antara matematika klasik dan matematika intuitionistic itu diperjelas melalui alat seperti realizability metode yang ditemukan oleh Georg Kreisel dan Gödel's interpretasi Dialectica. Karya ini terinspirasi daerah kontemporer pertambangan bukti. Para korespondensi Curry-Howard muncul sebagai analogi mendalam antara logika dan perhitungan, termasuk korespondensi antara sistem deduksi alam dan mengetik lambda kalkuli digunakan dalam ilmu komputer. Akibatnya, penelitian ke dalam kelas sistem formal mulai menangan kedua aspek logis dan komputasi, ini daerah penelitian kemudian dikenal sebagai teori tipe modern. Kemajuan juga dibuat dalam analisis ordinal dan studi hasil kemerdekaan pada aritmatika seperti Teorema Paris-Harrington.

Ini juga suatu periode, khususnya di tahun 1950 dan setelah itu, ketika ide-ide logika matematika mulai mempengaruhi pemikiran filosofis. Sebagai contoh, logika tegang adalah sistem formal untuk mewakili, dan penalaran tentang, proposisi berkualitas dalam hal waktu. Filsuf Arthur Sebelum memainkan peran penting dalam perkembangannya pada tahun 1960. logika Modal memperluas lingkup logika formal untuk memasukkan unsur-unsur modalitas (misalnya, kemungkinan dan kebutuhan ). Ide-ide Saul Kripke, khususnya tentang kemungkinan dunia, dan sistem formal sekarang disebut semantik Kripke memiliki dampak yang mendalam terhadap filsafat analitik paling terkenal dan paling berpengaruh adalah pekerjaan-Nya Penamaan dan Kebutuhan (1980). Deontic logika berhubungan erat dengan logika modal: mereka berusaha untuk menangkap fitur logis dari kewajiban, izin dan konsep terkait. Ernst Mally, seorang murid dari Alexius Meinong, adalah orang pertama yang mengusulkan sistem deontic formal dalamnya Grundgesetze des Sollens, berdasarkan sintaks dari Whitehead dan Russel kalkulus proposisional. Sistem lain yang logis didirikan setelah Perang Dunia II logika fuzzy oleh matematikawan Iran Lotfi Zadeh Penanya pada tahun 1965.

Rini Widiastuti

(09303241017)